Pour déterminer la quantité minimale d'output que l'entrepreneur offrira, nous devons examiner la fonction de coût et la relation entre le coût marginal et le prix.
La fonction de coût est donnée par :
[ c(q) = 2q^2 + 8 ]
Pour trouver le coût marginal (CM), nous devons dériver la fonction de coût par rapport à ( q ) :
[ CM = \frac{dc}{dq} = \frac{d(2q^2 + 8)}{dq} = 4q ]
L'entrepreneur offrira une quantité positive d'output lorsque le prix ( P ) est supérieur ou égal au coût marginal. Ainsi, nous devons résoudre l'inégalité suivante :
[ P \geq CM ]
Pour trouver le prix minimum auquel l'entrepreneur commencera à produire, nous devons égaler le coût marginal à zéro :
[ P = 4q ]
Pour que l'entrepreneur commence à produire, nous devons trouver la valeur de ( q ) pour laquelle le coût marginal est égal au prix. En général, l'entrepreneur ne produira pas si le prix est inférieur au coût moyen (CMoy).
Calculons le coût moyen :
[ CMoy = \frac{c(q)}{q} = \frac{2q^2 + 8}{q} = 2q + \frac{8}{q} ]
Pour minimiser le coût moyen, nous devons dériver ( CMoy ) par rapport à ( q ) et égaler à zéro :
[ \frac{d(CMoy)}{dq} = 2 - \frac{8}{q^2} = 0 ]
En résolvant cette équation :
[ 2 = \frac{8}{q^2} ]
[ 2q^2 = 8 ]
[ q^2 = 4 ]
[ q = 2 ]
Calculons le coût moyen à ( q = 2 ) :
[ CMoy(2) = 2(2) + \frac{8}{2} = 4 + 4 = 8 ]
Ainsi, l'entrepreneur offrira une quantité positive d'output dès que le prix sera supérieur à 8.
La réponse correcte est donc :
c. 8