ある数を3で割ると2余り、5で割ると3余り、7で割ると2余る。 この数が100以上200未満の範囲で唯一満たす数は何か?
与えられた条件を数式で表すと、次のようになります。
まず、条件1と条件3を考えます。条件1と条件3は次のように書き換えられます。
この2つの式から、両方の式が等しいことを考えます。
[ 3k + 2 = 7m + 2 ]
両辺から2を引くと、
[ 3k = 7m ]
これを整理すると、
[ \frac{k}{m} = \frac{7}{3} ]
したがって、kは7の倍数、mは3の倍数である必要があります。kを7n(nは整数)と置くと、
[ x = 3(7n) + 2 = 21n + 2 ]
次に、条件2を考えます。
[ x \equiv 3 \mod 5 ]
これを使って、( x = 21n + 2 )を5で割った余りを考えます。
[ 21n + 2 \equiv 3 \mod 5 ]
21を5で割ると余りは1なので、
[ n + 2 \equiv 3 \mod 5 ]
これを整理すると、
[ n \equiv 1 \mod 5 ]
したがって、nは5の倍数に1を加えた形、すなわち、
[ n = 5p + 1 \quad (pは整数) ]
と表せます。これをxの式に代入します。
[ x = 21(5p + 1) + 2 = 105p + 21 + 2 = 105p + 23 ]
次に、xが100以上200未満である条件を考えます。
[ 100 \leq 105p + 23 < 200 ]
これを解くと、
[ 77 \leq 105p < 177 ]
両辺を105で割ります。
[ \frac{77}{105} \leq p < \frac{177}{105} ]
計算すると、
[ 0.7333 \leq p < 1.6857 ]
したがって、pは0または1の整数値を取ります。
100以上200未満の範囲にあるのは、( x = 128 ) だけです。
したがって、求める数は
[ \boxed{128} ] です。