条件を満たす数は128

使用 GPT-4o mini によって AI Answer Generator 回答されました

質問:

ある数を3で割ると2余り、5で割ると3余り、7で割ると2余る。 この数が100以上200未満の範囲で唯一満たす数は何か?

回答:

与えられた条件を数式で表すと、次のようになります。

  1. ( x \equiv 2 \mod 3 )
  2. ( x \equiv 3 \mod 5 )
  3. ( x \equiv 2 \mod 7 )

まず、条件1と条件3を考えます。条件1と条件3は次のように書き換えられます。

  • ( x = 3k + 2 ) (kは整数)
  • ( x = 7m + 2 ) (mは整数)

この2つの式から、両方の式が等しいことを考えます。

[ 3k + 2 = 7m + 2 ]

両辺から2を引くと、

[ 3k = 7m ]

これを整理すると、

[ \frac{k}{m} = \frac{7}{3} ]

したがって、kは7の倍数、mは3の倍数である必要があります。kを7n(nは整数)と置くと、

[ x = 3(7n) + 2 = 21n + 2 ]

次に、条件2を考えます。

[ x \equiv 3 \mod 5 ]

これを使って、( x = 21n + 2 )を5で割った余りを考えます。

[ 21n + 2 \equiv 3 \mod 5 ]

21を5で割ると余りは1なので、

[ n + 2 \equiv 3 \mod 5 ]

これを整理すると、

[ n \equiv 1 \mod 5 ]

したがって、nは5の倍数に1を加えた形、すなわち、

[ n = 5p + 1 \quad (pは整数) ]

と表せます。これをxの式に代入します。

[ x = 21(5p + 1) + 2 = 105p + 21 + 2 = 105p + 23 ]

次に、xが100以上200未満である条件を考えます。

[ 100 \leq 105p + 23 < 200 ]

これを解くと、

[ 77 \leq 105p < 177 ]

両辺を105で割ります。

[ \frac{77}{105} \leq p < \frac{177}{105} ]

計算すると、

[ 0.7333 \leq p < 1.6857 ]

したがって、pは0または1の整数値を取ります。

  • ( p = 0 ) のとき、( x = 23 )
  • ( p = 1 ) のとき、( x = 128 )

100以上200未満の範囲にあるのは、( x = 128 ) だけです。

したがって、求める数は

[ \boxed{128} ] です。