算数の問題。最小公倍数が1800である2つの異なる整数のうち1つは120だとすると, もう片方の整数は何か?
最小公倍数(LCM)が1800であり、1つの整数が120である場合、もう1つの整数を求めるためには、次の手順を踏みます。
まず、120の素因数分解を行います。
[ 120 = 2^3 \times 3^1 \times 5^1 ]
次に、1800の素因数分解を行います。
[ 1800 = 18 \times 100 = (2 \times 3^2) \times (10^2) = (2 \times 3^2) \times (2 \times 5)^2 = 2^3 \times 3^2 \times 5^2 ]
したがって、
[ 1800 = 2^3 \times 3^2 \times 5^2 ]
次に、最小公倍数の性質を利用します。最小公倍数は、各素因数の最大の指数を取ります。したがって、もう1つの整数 ( x ) の素因数分解は次のようになります。
[ x = 2^a \times 3^b \times 5^c ]
ここで、( a, b, c ) はそれぞれの素因数の指数です。最小公倍数が1800であるため、次の条件を満たす必要があります。
この条件を満たす ( x ) の組み合わせを考えます。
( a = 0 ), ( b = 2 ), ( c = 2 ) の場合: [ x = 2^0 \times 3^2 \times 5^2 = 1 \times 9 \times 25 = 225 ]
( a = 1 ), ( b = 2 ), ( c = 2 ) の場合: [ x = 2^1 \times 3^2 \times 5^2 = 2 \times 9 \times 25 = 450 ]
( a = 2 ), ( b = 2 ), ( c = 2 ) の場合: [ x = 2^2 \times 3^2 \times 5^2 = 4 \times 9 \times 25 = 900 ]
( a = 3 ), ( b = 2 ), ( c = 2 ) の場合: [ x = 2^3 \times 3^2 \times 5^2 = 8 \times 9 \times 25 = 1800 ]
これらの中で、120と異なる整数を選ぶ必要があります。したがって、もう片方の整数は次のいずれかです。
したがって、もう片方の整数は 225、450、または900 のいず