最小公倍数が1800の整数の解答

使用 GPT-4o mini によって AI Answer Generator 回答されました

質問:

算数の問題。最小公倍数が1800である2つの異なる整数のうち1つは120だとすると, もう片方の整数は何か?

回答:

最小公倍数(LCM)が1800であり、1つの整数が120である場合、もう1つの整数を求めるためには、次の手順を踏みます。

まず、120の素因数分解を行います。

[ 120 = 2^3 \times 3^1 \times 5^1 ]

次に、1800の素因数分解を行います。

[ 1800 = 18 \times 100 = (2 \times 3^2) \times (10^2) = (2 \times 3^2) \times (2 \times 5)^2 = 2^3 \times 3^2 \times 5^2 ]

したがって、

[ 1800 = 2^3 \times 3^2 \times 5^2 ]

次に、最小公倍数の性質を利用します。最小公倍数は、各素因数の最大の指数を取ります。したがって、もう1つの整数 ( x ) の素因数分解は次のようになります。

[ x = 2^a \times 3^b \times 5^c ]

ここで、( a, b, c ) はそれぞれの素因数の指数です。最小公倍数が1800であるため、次の条件を満たす必要があります。

  • ( \max(3, a) = 3 ) から ( a ) は 0 から 3 の範囲
  • ( \max(1, b) = 2 ) から ( b ) は 2 以上
  • ( \max(1, c) = 2 ) から ( c ) は 2 以上

この条件を満たす ( x ) の組み合わせを考えます。

  1. ( a = 0 ), ( b = 2 ), ( c = 2 ) の場合: [ x = 2^0 \times 3^2 \times 5^2 = 1 \times 9 \times 25 = 225 ]

  2. ( a = 1 ), ( b = 2 ), ( c = 2 ) の場合: [ x = 2^1 \times 3^2 \times 5^2 = 2 \times 9 \times 25 = 450 ]

  3. ( a = 2 ), ( b = 2 ), ( c = 2 ) の場合: [ x = 2^2 \times 3^2 \times 5^2 = 4 \times 9 \times 25 = 900 ]

  4. ( a = 3 ), ( b = 2 ), ( c = 2 ) の場合: [ x = 2^3 \times 3^2 \times 5^2 = 8 \times 9 \times 25 = 1800 ]

これらの中で、120と異なる整数を選ぶ必要があります。したがって、もう片方の整数は次のいずれかです。

  • 225
  • 450
  • 900

したがって、もう片方の整数は 225、450、または900 のいず