与えられた条件を数式で表すと、次のようになります。
- ( x \equiv 2 \mod 3 )
- ( x \equiv 3 \mod 5 )
- ( x \equiv 2 \mod 7 )
まず、条件1と条件3を考えます。条件1と条件3は次のように書き換えられます。
- ( x = 3k + 2 ) （kは整数）
- ( x = 7m + 2 ) （mは整数）
この2つの式から、両方の式が等しいことを考えます。
[
3k + 2 = 7m + 2
]
両辺から2を引くと、
[
3k = 7m
]
これを整理すると、
[
\frac{k}{m} = \frac{7}{3}
]
したがって、kは7の倍数、mは3の倍数である必要があります。kを7n（nは整数）と置くと、
[
x = 3(7n) + 2 = 21n + 2
]
次に、条件2を考えます。
[
x \equiv 3 \mod 5
]
これを使って、( x = 21n + 2 )を5で割った余りを考えます。
[
21n + 2 \equiv 3 \mod 5
]
21を5で割ると余りは1なので、
[
n + 2 \equiv 3 \mod 5
]
これを整理すると、
[
n \equiv 1 \mod 5
]
したがって、nは5の倍数に1を加えた形、すなわち、
[
n = 5p + 1 \quad (pは整数)
]
と表せます。これをxの式に代入します。
[
x = 21(5p + 1) + 2 = 105p + 21 + 2 = 105p + 23
]
次に、xが100以上200未満である条件を考えます。
[
100 \leq 105p + 23 < 200
]
これを解くと、
[
77 \leq 105p < 177
]
両辺を105で割ります。
[
\frac{77}{105} \leq p < \frac{177}{105}
]
計算すると、
[
0.7333 \leq p < 1.6857
]
したがって、pは0または1の整数値を取ります。
- ( p = 0 ) のとき、( x = 23 )
- ( p = 1 ) のとき、( x = 128 )
100以上200未満の範囲にあるのは、( x = 128 ) だけです。
したがって、求める数は
[
\boxed{128}
] です。